求直线

\begin{equation}

l_1:  \begin{cases}

    x+y-z=-1\\

x+y=0\\

  \end{cases}

\end{equation}

和直线

\begin{equation}

l_2:  \begin{cases}

    x-2y+3z=6\\

2x-y+3z=6\\

  \end{cases}

\end{equation}

的距离.

解：直线$l_1$的标准方程为

\begin{equation}

  \frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{0}

\end{equation}

直线$l_2$的标准方程为

\begin{equation}

  \frac{x}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}

\end{equation}

可见直线$l_1$和$l_2$的方向向量分别是$(1,-1,0)$和$(-1,1,1)$.设向量$p=(x_0,y_0,z_0)$

和向量$(1,-1,0)$垂直，和向量$(-1,1,1)$也垂直，则向量$p$可以是

$(1,1,0)$.直线$l_1$和直线$l_2$上的两点分别为$m=(0,0,1)$和

$n=(0,0,2)$.则$\vec{mn}=(0,0,1)$.

\begin{equation}

\cos\langle\vec{mn},\vec{p}\rangle=\frac{\vec{mn}\cdot\vec{p}}{|\vec{mn}||\vec{p}|}=0

\end{equation}

因此两直线的距离为0，即两直线相交.